Tem como principal objetivo verificar o número de possibilidades de um evento ocorrer. A análise combinatória, ou simplesmente combinatória, refere-se ao estudo das técnicas de contagem, facilmente podemos contar associação de pequenos conjuntos, mas conforme aumenta o número de elementos de cada grupo, ou a quantidade de conjuntos associados, a contagem exige técnicas mais aprimoradas, tanto para facilidade de cálculo, quanto para que seja evitada distorção do resultado.

Para escolher um conjunto de roupas, jogar cartas ou brincar com as palavras usamos recursos combinatóriais. Tendo duas calças e quatro camisas, verifica-se que existem oito diferentes associações, isso nada mais é do que o produto entre as duas quantidades de peças, através desse conceito básico chega-se ao principio fundamental da contagem. Com as palavras podemos formar vários anagramas, ou então podemos usar o alfabeto e outros caracteres para a criptologia, com isso estudar níveis de segurança de senhas, tal como perceber que a tentativa de descoberta de senhas testando todas as possibilidades (brute force) pode levar muitos anos.

Os conjuntos podem ter ou não importância na ordem de seus membros. Usemos como exemplo as placas de carros, ao trocar a posição dos elementos obtemos uma placa diferente, já em um sorteio da quina a ordem de sorteio de cinco números não modifica o resultado final. A combinatória se encarrega de estudar os dois casos em arranjos e combinações respectivamente.

O estudo da combinatória ajuda a formar uma boa base para o estudo da probabilidade, conseqüentemente fortalece o estudo da estatística pelo fato de possibilitar o calculo do número de elementos do espaço amostral. Muitos exemplos básicos dos cálculos de probabilidade envolvem dados e moedas, mas antes de ser calculada a chance de certo evento ocorrer, deve ser verificado quais são todas as possibilidades de acontecimento, então podemos contar ou calcular pelos conceitos de combinatória, na jogada de apenas um dado temos seis eventos possíveis, na jogada de dois dados idênticos temos trinta e seis eventos possíveis, então se podem ter várias associações de dados, moedas, cartas ou outras coisas que terão um número possível de acontecimentos, calculados com técnicas da nossa amiga combinatória, que podem ter maior complexidade conforme a associação.

Uma outra aplicação é em mapas, o teorema das quatro cores diz ser possível colorir regiões de qualquer mapa desenhado no plano usando no máximo quatro cores, de forma que duas regiões que formam fronteira não tenham a mesma cor. Esse teorema utiliza o conceito de grafos, que é muito utilizado em matemática aplicada. Os grafos são de aplicação um pouco avançada, mas apenas como citação para estudos posteriores, as diversas maneiras de passar pelas pontes das Ilhas no rio Pregel em Königsberg foram muito estudadas por Euler (1710-1761), isso contribuiu para os estudos de grafos.

Arquimedes pode ter iniciado o estudo combinatorial há 2200 anos com escrito 'Stomachion', mas os primeiros estudos reconhecidos atualmente são de Bleise Pascal (1623- 1662) e Pierre Fermat (1623-1662) sobre o que chamamos de probabilidades finitas, isso contribuiu muito para o avanço dos estudos no campo da análise combinatória, e também serviu de base para a probabilidade. Outros grandes matemáticos contribuíram muito, entre eles estão Jaime Bernoulli (1654-1705), Euler e Laplace (1749-1827).

Devido ao apresentado é recomendável, ter uma boa noção sobre arranjos, permutações, combinações e binômio de Newton para que possa se envolver com o estudo da probabilidade com melhores entendimentos. Alguns conceitos como grafos, permutações circulares, funções geradoras e outros, também podem ser estudados como complementação, pois todos se referem a técnicas de contagem e portanto podem ajudar a determinar o espaço amostral.

• Bibliografia:

- Sistemas Lineares e Combinatória –1995 - Antonio dos Santos Machado - Editora Atual

- Introdução à Análise combinatória – 3ª ed. – 2002 - J. Plíneo O. Santos – Margarida P.Melo – Idani T. C. Murari - Editora Unicamp

- An Introduction to Probability Theory and Its Applicatins Vol. 1 – 3ª ed. - William Feller - Wiley Series in Probability and Mathematical statistics

• Links

- Blog sobre análise combinatória

- Combinatória básica

- Combinatória básica e aplicações a criptologia

- Análise combinatória de populações de milho de pipoca em topcrosses