Atividades dos participantes do curso

• Simulação, exemplos com estimação de <m>pi</m> (Círculo/quadrado e Agulha de Buffon)
• Simulação de v.a.'s

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### Solução analitica, númerica e por simulação do modelo
# X ~ B(n,p)
# p ~ Beta(alfa,beta)
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require(sfsmisc)
require(latticeExtra)
require(MASS)
#browseURL('http://cs.illinois.edu/class/sp10/cs598jhm/Slides/Lecture02HO.pdf')
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### grid de p
p <- seq(0,0.99999,by=0.001)
### Priori
alfa <- 1
beta <- 1
p.priori <- dbeta(p,alfa,beta)
### Verossimilhança
n <- 1000
x <- rbinom(1,n,0.3)
vero <- function(p,n,x){exp(sum(dbinom(x,n,p,log=TRUE)))}
p.vero <- apply(matrix(p),1,vero,n=n,x=x)
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### Solução analitica
### Posteriori
p.posteA <- dbeta(p,alfa+sum(x),beta+sum(n-x))
### Plotando
doubleYScale(xyplot(p.priori + p.posteA ~ p, foo, type = "l",lwd=3), 
             xyplot(p.vero ~ p, foo, type = "l",lwd=2,lty=2),
             style1 = 0, style2 = 3, add.ylab2 = TRUE,
             text = c("Priori", "Posteriori", "Verossimilhança"), columns = 3) 
### confirmando se a posteriori é uma fdp             
integrate.xy(p,p.posteA)             
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### INtegração númerica para normalização
### posteriori
p.posteN <- (p.priori*p.vero)/(integrate.xy(p,p.priori*p.vero))
### Plotando
doubleYScale(xyplot(p.priori + p.posteN ~ p, foo, type = "l",lwd=2), 
             xyplot(p.vero ~ p, foo, type = "l",lwd=2,lty=2),
             style1 = 0, style2 = 3, add.ylab2 = TRUE,
             text = c("Priori", "Posteriori", "Verossimilhança"), columns = 3)
### confirmando se a posteriori é uma fdp             
integrate.xy(p,p.posteN)
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### Amostragem da posteriori
ns <- 100000
theta_chapeu <- sum(x)/(n*length(x))
theta_i <- rbeta(ns,alfa,beta)
    u_i <- runif(ns,0,1)
crite <- u_i <= ((dbeta(theta_i,alfa,beta)*apply(matrix(theta_i),1,vero,n=n,x=x))/
                 (dbeta(theta_chapeu,alfa,beta)*vero(theta_chapeu,n=n,x=x)))
a.posteriori <- theta_i[crite]     
mean(a.posteriori,na.rm=TRUE)
### Taxa Aceitação
sum(crite)/ns
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### Comparando os resultados
hist(a.posteriori,prob=TRUE)
rug(a.posteriori)
lines(density(a.posteriori))
lines(p,p.posteA,col='red',lwd=3)
lines(p,p.posteN,col='blue',lty=2)
legend('topleft',c('Amostragem','Analitico','Númerica'),lty=c(1,1,2),col=c('black','red','blue'))
 
### Intervalos via verosimilhança aproximado
theta_chapeu+c(-1,1)*1.96*sqrt((theta_chapeu*(1-theta_chapeu))/n)
### IC amostragem
quantile(a.posteriori,c(0.025,0.975))
### Analitico da conjugada
qbeta(c(0.025,0.975),alfa+sum(x),beta+sum(n-x))
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