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disciplinas:ce067:teoricas:estimacao [2008/05/28 16:17] joel |
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| ====== Introdução ====== | ====== Introdução ====== | ||
| - | A inferência estatística é um conjunto de técnicas que objetiva estudar a população através de evidências fornecidas por uma amostra. O verbo inferir tem o significado de deduzir através do raciocínio, na estatística o processo de dedução ocorre através da análise de dados presentes em uma amostra. Ao sortear uma amostra de uma população, a sua composição é por si só um fenômeno aleatório, ou seja, diferentes sorteios geram diferentes amostras. Por outro lado, diferentes amostras levam a diferentes resultados para as estatísticas de interesse tais como: média, proporção,variância,...Ao pensarmos no tradicional exemplo da amostragem de eleitores para estimação da proporção de votos de um candidato, diferentes institutos de pesquisa coletam diferentes amostras e, por conseqüência, geram diferentes estimativas. Então, cientes de que diferentes amostragens produzem diferentes valores, torna-se relevante questionar como é variabilidade das repostas obtidas em diferentes amostras. | + | A inferência estatística é um conjunto de técnicas que objetiva estudar a população através de evidências fornecidas por uma amostra. O verbo inferir tem o significado de deduzir através do raciocínio, na estatística o processo de dedução ocorre através da análise de dados presentes em uma amostra. Ao sortear uma amostra de uma população, a sua composição é por si só um fenômeno aleatório, ou seja, diferentes sorteios geram diferentes amostras. Por outro lado, diferentes amostras levam a diferentes resultados para as estatísticas de interesse tais como: média, proporção,variância,...Ao pensarmos no tradicional exemplo da amostragem de eleitores para estimação da proporção de votos de um candidato, diferentes institutos de pesquisa coletam diferentes amostras e, por conseqüência, geram diferentes estimativas. Então, cientes de que diferentes amostragens produzem diferentes valores, torna-se relevante questionar como funciona o mecanismo de variabilidade das repostas obtidas em diferentes amostras. |
| - | O interesse em coletar uma amostra aleatória é fazer observações de um sequência //n// de váriaveis aleatórias que aqui será denotada por: | + | Formalizando, de acordo como o conteúdo visto nos capítulos anteriores, o interesse em coletar uma amostra aleatória corresponde a fazer observações de uma seqüência de //n// váriaveis aleatórias que aqui será denotada por: |
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| - | Para entender como as respostas em uma amostra aleatória podem variar, observe o exemplo em Magalhães e Lima (2004): | + | Para entender como as respostas em uma amostra aleatória podem variar, observe o exemplo 7.1 em Magalhães e Lima (2004). |
| - | //**Exemplo 7.1**: Uma empresa fabrica 100 equipamentos eletrônicos por semana e deseja verificar como se comporta a resistência deste tipo de equipamento em relação à alteração de voltagem. Um teste planejado pelo controle de qualidade da empresa, consiste em produzir sucessivas alterações padronizadas de voltagem e observar o efeito no aparelho. Como esses testes são demorados e demandam custos expressivos, apenas 5 desses aparelhos serão testados.// | + | //**Exemplo 7.1**: Uma empresa fabrica 100 equipamentos eletrônicos por semana e deseja verificar como se comporta a resistência deste tipo de equipamento em relação à alteração de voltagem. Um teste planejado pelo controle de qualidade da empresa, consiste em produzir sucessivas alterações padronizadas de voltagem e observar o efeito no aparelho. Como esses testes são demorados e demandam custos expressivos, apenas 5 desses aparelhos serão testados a cada semana.// |
| Neste exemplo, ao observar um aparelho, a resistência à alteração na voltagem pode ser considerada boa ou má. Isto corresponde a observar uma variável de Bernoulli, ou seja, | Neste exemplo, ao observar um aparelho, a resistência à alteração na voltagem pode ser considerada boa ou má. Isto corresponde a observar uma variável de Bernoulli, ou seja, | ||
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| <latex> | <latex> | ||
| - | \begin{tabular}{cccccc} | + | \begin{tabular}{|c|ccccc|} \hline |
| - | & X_1 & X_2 & X_3 & X_4 & X_5 \\ | + | & X_1 & X_2 & X_3 & X_4 & X_5 \\ \hline |
| semana 1 & 0 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ | semana 1 & 0 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ | ||
| semana 2 & 1 & 0 & 1 & 1 & 0\\ | semana 2 & 1 & 0 & 1 & 1 & 0\\ | ||
| semana 3 & 1 & 1 & 1 & 0 & 1\\ | semana 3 & 1 & 1 & 1 & 0 & 1\\ | ||
| - | semana 4 & 0 & 1 & 0 & 1 & 1 \\ | + | semana 4 & 0 & 1 & 0 & 1 & 1 \\ \hline |
| \end{tabular} | \end{tabular} | ||
| </latex> | </latex> | ||
| - | Caso nestas semanas o processo de fabricação esteja sob controle, e as peças tenham sido sorteadas de modo a representar bem os 100 equipamentos fabricados na semana, os valores acima representam 4 diferentes configurações para uma amostra aleatória. | + | Caso nestas semanas o processo de fabricação esteja sob controle, e as peças tenham sido sorteadas de modo a representar bem os 100 equipamentos fabricados na semana, os valores acima representam 4 diferentes configurações para uma amostra aleatória. Veja abaixo como a proporção de peças boas é estimada em cada semana. |
| - | + | ||
| - | Suponha que a estatística de interesse em cada amostra seja a quantidade de equipamentos com boa resistência, ou seja: | + | |
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| - | Y:\textit{quantidade de peças com boa resistência em 5 testadas} | + | \begin{tabular}{|c|c|} \hline |
| + | & proporção de peças boas \\ \hline | ||
| + | semana 1 & 4/5 \\ | ||
| + | semana 2 & 3/5 \\ | ||
| + | semana 3 & 4/5 \\ | ||
| + | semana 4 & 3/5 \\ \hline | ||
| + | \end{tabular} | ||
| </latex> | </latex> | ||
| - | <latex> | + | É importante ressaltar na tabela acima que diferentes amostragens geram diferentes resultados para a estatística de interesse que, neste caso, é a proporção de peças boas. |
| - | Y=\sum_{i=1}^n X_i | + | |
| - | </latex> | + | |
| - | + | ||
| - | Esta estatística de interesse corresponde a uma variável aleatória com distribuição binomial. Assim, podemos calcular probabilidades para os seus possíveis valores. | + | |
| - | + | ||
| - | ====== População e amostra ====== | + | |
| - | + | ||
| - | (Inserir aqui Cap 10 Bussab) | + | |
| ====== Parâmetros, Estimadores e Estimativas ====== | ====== Parâmetros, Estimadores e Estimativas ====== | ||
| Linha 126: | Linha 122: | ||
| </latex> | </latex> | ||
| - | //**Exemplo 7.3** Em uma cidade, os taxis estão numerados de 1 até //<latex> \theta </latex> //, sendo// <latex> \theta </latex> //é um parâmetro desconhecido que representa a quantidade de taxis na cidade. Supondo que os taxis circulam de modo uniforme por toda cidade, uma pessoal anotou a placa dos 5 primeiros taxis que passaram em uma determinada esquina. Estes números foram:// | + | //**Exemplo 7.3** Em uma cidade, os taxis estão numerados de 1 até //<latex> \theta </latex> //, sendo que // <latex> \theta </latex> //é um parâmetro desconhecido que representa a quantidade de taxis na cidade. Supondo que os taxis circulam de modo uniforme por toda cidade, uma pessoa anotou a placa dos 5 primeiros taxis que passaram em uma determinada esquina. Estes números foram:// |
| <latex> | <latex> | ||
| Linha 142: | Linha 138: | ||
| <latex>\hat{\theta}_3=X_{(5)}+X_{(1)}</latex> | <latex>\hat{\theta}_3=X_{(5)}+X_{(1)}</latex> | ||
| - | + | Os três estimadores acima representam três propostas para estimar a quantidade total de taxis na cidade. As funções da amostra apresentadas acima são respectivamente: máximo, 2 vezes a mediana e máximo+mínimo. Ao aplicarmos estes estimadores na amostra obtida teremos as seguintes estimativas: | |
| - | + | ||
| - | Os três estimadores acima representam três propostas para estimar a quantidade total de taxis na cidade. As funções da amostra apresentadas acima são respectivamente: máximo, mediana e máximo+mínimo. Ao aplicarmos estes estimadores na amostra obtida teremos as seguintes estimativas: | + | |
| <latex> | <latex> | ||
| Linha 157: | Linha 151: | ||
| \hat{\theta}_{3obs} = 519 | \hat{\theta}_{3obs} = 519 | ||
| </latex> | </latex> | ||
| - | + | | |
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| Cada um dos exemplos acima propõe 3 estimadores, estes são utilizados em uma amostra observada da variável de interesse e são encontradas diferentes estimativas. A questão relevante neste momento é //"Qual estimador é o mais apropriado ? "//. A princípio esta questão parece não ter resposta, pois não conhecemos o valor do parâmetro de interesse. | Cada um dos exemplos acima propõe 3 estimadores, estes são utilizados em uma amostra observada da variável de interesse e são encontradas diferentes estimativas. A questão relevante neste momento é //"Qual estimador é o mais apropriado ? "//. A princípio esta questão parece não ter resposta, pois não conhecemos o valor do parâmetro de interesse. | ||
| - | Porém, o estimador é uma variável aleatória, logo podemos pensar em calcular probabilidades para seus possíveis valores e avaliar estatísticas como: valor esperado e variância. A partir deste fato são desenvolvidos princípios para qualificar e diferenciar os estimadores. Um estimador mais "preciso", por exemplo, é aquele que possui menor variabilidade de amostra para amostra. O valor esperado de um estimador deve ser o valor do parâmetro de interesse na população. Na sequência são apresentadas algumas propriedades desejáveis para um bom estimador. | + | Porém, o estimador é uma variável aleatória, logo podemos pensar na sua distribuição de probabilidades e avaliar estatísticas como: valor esperado e variância. A partir deste fato são desenvolvidos princípios para qualificar e diferenciar os estimadores. Um estimador mais "preciso", por exemplo, é aquele que possui menor variabilidade de amostra para amostra. Deseja-se também que valor esperado do estimador seja o valor do parâmetro de interesse na população. Na seqüência são apresentadas algumas propriedades desejáveis para um bom estimador. |
| ==== Propriedades dos Estimadores ==== | ==== Propriedades dos Estimadores ==== | ||
