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\title{MÉTODOS GEOESTATÍSTICOS BIVARIADOS: \\ Introdução}
\author{Edson Antonio A. Silva (Unioeste) \hspace{1cm} \\ Prof. PhD. Paulo J. Ribeiro Jr. (UFPr)\\ Engº Itamar A. Borgnola (EMBRAPA)}
\institute{Universidade Federal do Paraná \\ Programa de Pós-Graduação em Métodos Numéricos em Engenharia}

\begin{document}
\date{26 de julho de 2007}
% \setbeamertemplate{footline}[frame number] % numera os slides

\frame{\titlepage}

\frame{\frametitle{FAZENDA MOBASA}
Área de reflorestamento com estudo em parcelas de inventários florestais contínuos, com plantio de Pinus da espécie \textcolor{blue}{P.Taeda L.}, localizada no município de Rio Negrinho-SC, com área de $2.252,11 ha$, onde foram levantados dados pedológicos, amostras para análises físicas e químicas do solo e dados relacionados ao rendimento produtivo.
}
\frame{\frametitle{PROBLEMA GEOESTATÍSTICO}
\begin{figure}[!ht]
\begin{center}
\includegraphics[width=5cm]{Mobasa.ps}
\includegraphics[width=5cm]{IMA.ps}
\end{center}
\end{figure}
}

\frame{\frametitle{GEOMETRIA DO ESPAÇO GEOESTATÍSTICO}

$$ \left\{(x_i;y_i): x\in \mathbb{R}^2, y \in \mathbb{R}, i=1,2,\ldots, n\right\}$$
\begin{itemize}
\item $x_i$: \footnotesize{Localização espacial de uma coordenada (geo) referenciada}
\item $y_i$: \footnotesize{Medida escalar ou vetorial de uma variável, em uma coordenada.}
\end{itemize}
      \centering
      \begin{figure}[!ht]
      \includegraphics[scale=3]{AREA.ps}
      \end{figure}
}

\frame{\frametitle{MODELO ESTATÍSTICO UNIVARIADO}
$$Y(x_i) = \mu(x_i) + S(x_i) + \delta_i \text{\hspace{1cm}} i=1, 2, \ldots, n.$$
\begin{itemize}
\item $Y(x_i)$ é uma v. a. com distribuição normal de média $E[Y(x_i) \vert S(x_i)] = \mu(x_i) + S(x_i)$ e variância $Var[Y(x_i) \vert S(x_i)] = \tau^2$;
\item $\mu(x_i) = \alpha + \beta_1 d_1(x_i) + \beta_2 d_2(x_i) + \ldots + \beta_p d_p(x_i)$ é uma tendência espacial associada às variáveis externas $d_k(x_i), k=1,2, \ldots , p$. $\alpha$ e $\beta_k$ são constantes a serem determinadas;
\item $\left\lbrace S(x_i): x_i \in \mathbb{R}^2 \right\rbrace$ é um processo gaussiano multivariado desconhecido com média zero, variância $\sigma^2$ e função de correlação $\rho(\cdot)$;
\item $\delta_i$ são erros aleatórios i.i.d. tal que $\delta_i \sim N(0;\tau^2)$.
\end{itemize}
}

\frame{\frametitle{REPRESENTAÇÃO MATRICIAL}
Para um modelo geoestatístico básico temos:
$${\bf Y} \sim MVN({\bf D} \mbox{\boldmath $\beta$},\sigma^2 {\bf R}(\phi) + \tau^2{\bf I})$$
\begin{itemize}
\item ${\bf D} \mbox{\boldmath $\beta$}= \alpha + \beta_1 d_1(x_i) + \beta_2 d_2(x_i) + \ldots + \beta_p d_p(x_i)$;
\item $\sigma^2$ é a variância (constante no processo);
\item ${\bf R}_{n\;{\sf} x\;n}$ é uma matriz de correlação onde os elementos $[r_{ij}]_{n\;{\sf} x\;n} = \rho(\Vert x_i - x_j \Vert) = \rho(u_{ij});$
\item $\tau^2$ é a variância do erro aleatório $\delta_i$.
\end{itemize}

\vspace{0.5cm}
\textcolor{red}{Se ${\bf D} \mbox{\boldmath $\beta$}= \mu {\bf 1}$ dizemos que o processo é estacionário no sentido amplo}
}

\frame{\frametitle{A FUNÇÃO DE CORRELAÇÃO}
No modelo $Y(x_i) = \mu_i + S(x_i) + \delta_i$, a função de correlação é a \textcolor{red}{\bf LEI} que estabelece a associabilidade entre os pares observações geográficas do processo em estudo. Os principais aspectos dessa função são:
\begin{itemize}
\item CONTINUIDADE
\item DIFERENCIABILIDADE
\item $\rho(0) \leq 1$ e $\displaystyle\lim_{u\rightarrow\infty} \rho(u)=0$, tipicamente
\end{itemize}
}

\frame{\frametitle{FUNÇÃO DE CORRELAÇÃO DE MATÉRN}
$$
\rho(u, \phi, \kappa) = \dfrac{1}{2^{\kappa -1}\Gamma(\kappa)} \left( \dfrac{u}{\phi}\right)^2 K_{\kappa} \left( \dfrac{u}{\phi}\right)
$$
onde $K_{\kappa}$ é a função modificada de Bessel (ver \textcolor{red}{Abramowitz, 1965})
\begin{figure}[!ht]
\begin{center}
\includegraphics[width=6cm]{matern.ps}
\end{center}
\end{figure}
\begin{itemize}
\item $\kappa$ é um parâmetro de diferenciabilidade da função;
\item $\phi$ é um parâmetro de alcance prático para a função.
\end{itemize}
}


\frame{\frametitle{MÉTODOS DE ESTIMAÇÃO DOS PARÂMETROS DO MODELO}
\begin{itemize}
\item \textcolor{red}{\bf EXPLORATÓRIO}: \\ 

\vspace{-0.2cm}
{\tiny Feito sobre os pontos de um semivariograma experimental;}
\item \textcolor{red}{\bf MÍNIMOS QUADRADOS}: \\ 

\vspace{-0.2cm}
{\tiny Feito sobre os pontos de um semivariograma experimental;}
\item \textcolor{red}{\bf MÁXIMA VEROSSIMILHANÇA}: \\ 

\vspace{-0.2cm}
{\tiny Feito sobre o conjunto de observações;}
\item \textcolor{red}{\bf BAYESIANO}: \\ 

\vspace{-0.2cm}
{\tiny Método computacionalmente intensivo;}
\end{itemize}
}

\frame{\frametitle{MÉTODO DA MÁXIMA VEROSSIMILHANÇA}
O método consiste em maximizar a função de log-Verossimilhança para a função distribuição conjunta $f_Y(y_1,y_2, \ldots ,\; y_n)$

$$
\begin{array}{rcl}
l(\beta, \tau^2, \sigma^2, \phi, y) & \propto & - \frac{n}{2}\log(\sigma^2{\bf R}(\phi) + \tau^2{\bf I}) - \\
& & \\
                                          &   & - \frac{1}{2}({\bf y} - {\bf D}\mbox{\boldmath $\beta$})^T
                                                  (\sigma^2{\bf R}(\phi) + \tau^2{\bf I})^{-1}
                                                  ({\bf y} - {\bf D}\mbox{\boldmath $\beta$})
\end{array}
$$
\begin{itemize}
\item ${\bf Y} \sim MVN({\bf D} \mbox{\boldmath $\beta$},\sigma^2 {\bf R}(\phi) + \tau^2{\bf I})$ \\
\vspace{-0.2cm}
{\tiny Processo gaussiano multivariado.}
\end{itemize}
}

\frame{\frametitle{PREDIÇÃO LINEAR ESPACIAL}
\begin{itemize}
\item Suposição ou conjectura sobre um resultado geo-localizado \textcolor{blue}{Y}, desconhecido, que poderá ou não ocorrer conforme o valor predito;
\item Prever um resultado em uma localização, com base em um número discreto (normalmente pequeno) de observações obtidas dispersamente na área (\textcolor{red}{Krige, 1951});
\item Estimar, por regressão linear, baseado naquele modelo proposto inicialmente (\textcolor{red}{Goovaerts, 1997}).
\end{itemize}
}

\frame{\frametitle{PREDITORES BASEADOS EM MODELOS}
$$
E(\hat{Y}(x_0) \vert Y) = \mu + {\bf r}'(\tau^2 {\bf I} + \sigma^2 {\bf R}(\phi))^{-1}({\bf y}-\mu {\bf 1})
$$
\begin{itemize}
\item $\mu$: média dos valores observados;
\item {\bf r}: vetor de correlações entre os pontos conhecidos e um ponto $x_0$ onde se deseja que seja estimado $\hat{y}(x_0)$;
\item {\bf y}: valores observados do processo \textcolor{red}{\bf Y}
\end{itemize}

\vspace{.5cm}
\textcolor{red}{\footnotesize Stein (1999); Schabenberger \& Gotway (2005) e Diggle \& Ribeiro Jr. (2006)}
}

\frame{\frametitle{GEOESTATÍSTICA MULTIVARIADA}
\textcolor{blue}{\huge{Principais aplicações ...}}
\begin{itemize}
\item Associar a variação espacial de uma variável primária com um conjunto de variáveis secundárias, não necessariamente posicionadas nas mesmas coordenadas;
\item Útil para ampliar a quantidade de informações de uma variável primária de difícil medição com informações de variáveis "baratas" que sejam correlacionadas com ela.
\end{itemize}
}

\frame{\frametitle{PREMISSA}
Dados geoestatísticos multivariados não precisam estar localizados nas mesmas coordenadas para todas as variáveis.
\begin{figure}[!ht]
\begin{center}
\includegraphics[width=6cm]{bivar.ps}
\end{center}
\end{figure}
{\tiny Pontos azuis representam locais onde foi medida a variável $Y_1$;} \\
{\tiny Pontos vermelhos representam locais onde foi medida a variável $Y_2$;} \\
{\tiny Pontos pretos representam locais onde foram medidas as variáveis $Y_1$ e $Y_2$;} \\
}

\frame{\frametitle{CORREGIONALIZAÇÃO (Induzida por um modelo)}
Para \textcolor{red}{Diggle e Ribeiro Jr (2007)}
\begin{description}
\item \textcolor{red}{Y}$_1$: Processo gaussiano estacionário primário.
\item \textcolor{red}{Y}$_2$: Processo gaussiano estacionário secundário.
\end{description}

\vspace{.5cm}
\text{Modelo Bivariado plausível}
$$
\left\{
     \begin{array}{l}
        Y_{1i}= \mu_1 + \sigma_{01}R_0(\phi_a) + \sigma_1R_1(\phi_b) + \tau_1 \;\;\;\; i=1,2,\ldots, m \\
        Y_{2i}= \mu_2 + \sigma_{02}R_0(\phi_a) + \sigma_2R_2(\phi_c) + \tau_2 \;\;\;\; j=1,2,\ldots, n \\   
     \end{array}
\right.
$$
}

\frame{\frametitle{MATRIZ DE COVARIÂNCIA}
$$
{\mbox{\boldmath $\Sigma $}} =
\left(
\begin{array}{c|c}
Cov(Y_1;Y_1) & Cov(Y_1;Y_2) \\
\hline
Cov(Y_2;Y_1) & Cov(Y_2;Y_2)
\end{array}
\right)
$$
}

\frame{\frametitle{PREDIÇÃO ESPACIAL BIVARIADA}
\begin{itemize}
\item Predição de uma variável $Y_1$ com o ``apoio'' de uma segunda variável $Y_2$ (co-variável) tomada nas mesmas coordenadas na primeira. (região, p.ex.);
\item Predição de uma variável de interesse primário $Y_1$ em coordenadas de uma segunda variável $Y_2$, sabidamente correlacionada com a primeira (Co-Krigagem).
\end{itemize}
}

\frame{\frametitle{CO-KRIGAGEM}
\begin{itemize}
\item Estimar a função a função de correlação e os parâmetros de um modelo bivariado (likBGCC) -- {\rm {\it Bivariate Gaussian Common Componente Model}} (no geoR);
\item Predizer valores da variável primária nas coordenadas da variável secundária (ampliação);
\item Predizer valores da variável primária em coordenadas compatíveis com a produção de um mapa.
\end{itemize}
}

\frame{\frametitle{MAPA DE PREDIÇÃO (MOBASA)}
\begin{figure}[!ht]
\begin{center}
\includegraphics[width=4cm]{IMA.ps}
\includegraphics[width=4cm]{IMA_Arg.ps}
\end{center}
\end{figure}

\vspace{-0.5cm}
\textcolor{red}{\footnotesize Mapa de predição por krigagem ordinária em 7176 coordenadas a partir de 18 locais observados (esquerda) e por co-krigagem, a partir de 555 locais da segunda variável.}
}

\frame{\frametitle{TOOLBOX}
\vspace{2cm}
\begin{itemize}
\item Linguagem e ambiente operacional {\bf R};
\item Pacote geoestatístico {\bf geoR};
\item Sistema operacional GNU/Linux.
\end{itemize}
%      \centering
      \begin{figure}[!ht]
      \includegraphics[scale=2]{Rlogo.ps}
      \hspace{1.5cm}
      \includegraphics[scale=0.5]{FFS.ps}
      \hspace{1.5cm}
      \includegraphics[scale=.5]{gnu-head-sm.ps}
      \end{figure}
% \vspace{1cm}
Recursos computacionais sob licença GPL ({\it General Public Licence})
}

\frame{\frametitle{REFERÊNCIAS}
\begin{thebibliography}{x}
\bibitem{abramowitz+stegun:1965} ABRAMOWITZ, M.  \& STEGUN I., {\em Handbook of Mathematical Functions}. 9.ed., New York: Dover, 1965.
\bibitem{diggle+ribeiroJr:2006} DIGGLE, P. J. \& RIBEIRO Jr P. J., {\em Model-based Geostatistics}. USA: Springer Series in Statistics, 2006.
\bibitem{goovaerts:1997} GOOVAERTS, P., {\em Geostatistics for Natural Resources Evaluation}. Oxford:, Oxford University Press, 1997.
\bibitem{isaaks+srivastava:1989} ISAAKS, E. H. \& R. SRIVASTAVE, M., {\em Applied GEostatistics}. New York: Oxford University, 1989.
\bibitem{journel+huijbregts:1978} JOURNEL A. G. \& HUIJBREGTS Ch. J., {\em Mining Geostatistics}. London: Academic Press, 1978.
\bibitem{krige:1951} KRIGE D. G., {\em A Statistical Approach to Some Mine Valuations and Allied Problems at Witwatersrand}. University of Witwatersrand, 1951. Master's thesis.
\end{thebibliography}
}

\frame{\frametitle{REFERÊNCIAS}
\begin{thebibliography}{x}
\bibitem{R:2006} {\em R: A Language and Environment for Statistical Computing}, R Foundation for Statistical Computing, Vienna:, 2006, http://www.R-project.org.
\bibitem{ribeiro+diggle:2001} RIBEIRO Jr, P. J. \& DIGGLE P. J., geoR: A package for geostatistical analysis, {\em R-NEWS}, v01, n2, 2001, http://cran.r-project.org/doc/Rnews.
\bibitem{schabenberger:2005} SCHABENBERGER O. \& GOTWAY, A., {\em Statistical Methods for Spatial Data Analysis}, New York: Chapman-Hall, 2005.
\bibitem{stein:1999} STEIN, M. L. {\em Interpolation of Spatial Data: Some Theory for Kriging}. New York: Springer series in statistics. 1999.
\bibitem{wakernagel:2003} WAKERNAGEL, H., {\em Multivariate geostatistics: an introduction with applications}, 3.ed., Germany: Springer series in statistics, 2003.
\end{thebibliography}
}

\end{document}
