\documentclass{beamer}
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\usetheme{Warsaw}

\usefonttheme[onlylarge]{structuresmallcapsserif}
\title{Aplicação de Métodos Geoestatísticos Univariados e Multivariados em Problemas de Mapeamento de Variáveis de Solo e Plantas}
\author{Edson Antonio A. Silva \hspace{1cm} \\ Prof. PhD. Paulo J. Ribeiro Jr.}
\institute{Universidade Federal do Paraná \\ Programa de Pós-Graduação em Métodos Numéricos em Engenharia}

\begin{document}
\date{12 de março de 2007}
% \setbeamertemplate{footline}[frame number] % numera os slides

\frame{\titlepage}

\frame{\frametitle{Geoestatística}
\begin{itemize}
\item A definição exata da palavra não consta dos dicionários da língua portuguesa;
\item Muitos autores dão definições próprias. A nossa é: Conjunto de métodos relacionados a modelagem de fenômenos espacialmente contínuos.
\end{itemize}
}

\frame{\frametitle{Fazenda Mobasa}
Área de reflorestamento com estudo em parcelas de inventários florestais contínuos, com plantio de Pinus da espécie \textcolor{blue}{P.Taeda L.}, localizada no município de Rio Negrinho-SC, com área de $2.252$ hectares, onde foram levantados dados pedológicos, amostras para análises físicas e químicas do solo e dados relacionados ao rendimento produtivo.
}
\frame{\frametitle{Problema Geoestatístico}
\begin{figure}[!ht]
\begin{center}
\includegraphics[width=4cm]{Mobasa.ps}
\includegraphics[width=4cm]{IMA.ps}
\end{center}
\end{figure}
\tiny{63 pontos de análises Físico-hídricas e Químicas, 18 pontos de análises Químicas, 555 pontos de análise Física}.
}

\frame{\frametitle{Tipos de Variáveis Agrícolas}
\begin{itemize}
\item Propriedades Físicas e Químicas do solo;
\item Propriedades ambientais e regionais;
\item Propriedades das plantas;
\item Rendimento agrícola.
\end{itemize}
}

\frame{\frametitle{Principais Aplicações Agrícolas}
\begin{itemize}
\item Caracterização das correlações espaciais entre as variáveis;
\item Identificação de diferentes áreas de manejo;
\item Elaboração de mapas de informações dos recursos naturais disponíveis, priorizando um conteúdo temático;
\item Elaboração de mapas de previsão de rendimento agrícola.
\end{itemize}
}

\frame{\frametitle{Geometria do Espaço Geoestatístico}

$$ \left\{(x_i;y_i): x\in \mathbb{R}^2, y \in \mathbb{R}, i=1,2,\ldots, n\right\}$$
\begin{itemize}
\item $x_i$: \footnotesize{Localização espacial de uma coordenada (geo)referenciada}
\item $y_i$: \footnotesize{Medida escalar ou vetorial de uma variável, em uma coordenada.}
\end{itemize}
      \centering
      \begin{figure}[!ht]
      \includegraphics[scale=3]{AREA.ps}
      \end{figure}
}

\frame{\frametitle{Premissas}
\begin{itemize}
\item Definimos o processo estocástico $S$ como um conjunto infinito da variáveis aleatórias que descrevem um fenômeno em uma região do espaço. Esse processo é desconhecido.
\item $Y$ é um conjunto finito de observações nessa região do espaço e corresponde a uma realização parcial do processo $S$. 
\item Para os propósitos desse trabalho $Y$ é uma v.~a. contínua.
\item As observações da variável $Y$ são autocorrelacionadas. As observações mais próximas são mais similares entre si do que as observações mais distantes, geograficamente;
\item O conjunto de observações $y_i$ nas localizações $x_i$ corresponde a uma única observação do processo estocástico $Y$.
\item Como o processo estocástico $Y$ envolve um conjunto de variáveis da mesma natureza, dizemos que o processo é univariado.
\end{itemize}
}

\frame{\frametitle{Modelo Geoestatístico Univariado}
$$Y(x_i) = \mu(x_i) + S(x_i) + \delta_i \text{\hspace{1cm}} i=1, 2, \ldots, n.$$
\begin{itemize}
\item $Y(x_i)$ é uma v. a. com distribuição normal.
   \begin{itemize}
   \item $E[Y(x_i) \vert S(x_i)] = \mu(x_i) + S(x_i)$ 
   \item $Var[Y(x_i) \vert S(x_i)] = \tau^2$
   \end{itemize}
\item $\mu(x_i) = \alpha + \beta_1 d_1(x_i) + \beta_2 d_2(x_i) + \ldots + \beta_p d_p(x_i)$ é uma tendência espacial associada às variáveis externas $d_k(x_i)$;
\item $\left\lbrace S(x_i): x_i \in \mathbb{R}^2 \right\rbrace$ é um processo gaussiano multivariado com média zero, variância $\sigma^2$ e função de correlação $\rho(\cdot)$;
\item $\delta_i$ são erros aleatórios i.i.d. tal que $\delta_i \sim N(0;\tau^2)$.
\end{itemize}
}

\frame{\frametitle{Representação Matricial do Modelo Geoestatístico Básico}
Para um modelo geoestatístico básico temos:
$${\bf Y} \sim MVN({\bf D} \mbox{\boldmath $\beta$},\sigma^2 {\bf R}(\phi) + \tau^2{\bf I})$$
\begin{itemize}
\item ${\bf D} \mbox{\boldmath $\beta$}$ é a representação matricial de $\mu(x_i)$;
\item $\sigma^2$ é a variância (constante no processo);
\item ${\bf R}_{n\;{\sf} x\;n}$ é uma matriz de correlação onde os elementos $[r_{ij}]_{n\;{\sf} x\;n} = \rho(\Vert x_i - x_j \Vert) = \rho(u_{ij});$
\item $\tau^2$ é a variância do erro aleatório $\delta_i$.
\end{itemize}

\vspace{0.5cm}
\textcolor{red}{Se ${\bf D} \mbox{\boldmath $\beta$}= \mu {\bf 1}$ dizemos que o processo é estacionário no sentido amplo}
}

\frame{\frametitle{Quantificando a Dependência Espacial}
\begin{itemize}
\item A \textcolor{red}{\bf VARIÂNCIA} mede, de certa maneira, o quão diferentes são essas duas medidas.
\item $(Y(x_i) - Y(x_j))$ dá a diferença de duas observações separadas por uma distância $u_{ij}=\Vert x_i - x_j \Vert$
\item A variância da diferença das medidas irá descrever as similaridades e dissimilaridades entre variáveis tomadas em localizações diferentes separadas por certa distância.
\end{itemize}

\begin{figure}[!ht]
\begin{center}
\includegraphics[width=7cm]{Area_2.ps}
\end{center}
\end{figure}
}

\frame{\frametitle{Vamos às Contas}
\begin{itemize}
\item $Var(Y(x_i) - Y(x_j)) = Var(Y(x_i)) + Var(Y(x_j)) - 2\;Cov(Y(x_i);Y(x_j))$
   \begin{itemize}
      \item $Var(Y(x_i)) = Var(\mu_i + S(x_i) + \delta_i) = \sigma^2 + \tau^2$
      \item $Cov(Y(x_i);Y(x_j)) = \sigma^2 \rho(u_{ij})$
   \end{itemize}
..... substituindo .....
\item $Var(Y(x_i) -Y(x_j)) = 2(\tau^2 + \sigma^2(1 - \rho(u_{ij})))$
\item $\dfrac{1}{2} Var(Y(x_i) - Y(x_j)) = \tau^2 + \sigma^2(1 - \rho(u_{ij}))$
\item $\gamma(u_{ij}) = \tau^2 + \sigma^2(1 - \rho(u_{ij}))$ \textcolor{red}{\bf SEMIVARIÂNCIA}
\end{itemize}
}

\frame{\frametitle{Semivariância e Semivariograma}
\begin{figure}[!ht]
\begin{center}
\includegraphics[width=7cm]{variog.ps}
\end{center}
\end{figure}
$$\gamma(u_{ij}) = \tau^2 + \sigma^2(1-\rho(u_{ij})) $$
}


\frame{\frametitle{A Função de Correlação}
No modelo $Y(x_i) = \mu_i + S(x_i) + \delta_i$, a função de correlação é a \textcolor{red}{\bf LEI} que estabelece a associabilidade entre os pares observações geográficas do processo em estudo. Os principais aspectos dessa função são:
\begin{itemize}
\item CONTINUIDADE
\item DIFERENCIABILIDADE
\item $\rho(0) \leq 1$ e $\displaystyle\lim_{u\rightarrow\infty} \rho(u)=0$, tipicamente
\end{itemize}
}
\frame{\frametitle{Diferenciabilidade da Função de Correlação}
\begin{figure}[!ht]
\begin{center}
\includegraphics[width=10cm]{Diferenciab.ps}
\end{center}
\end{figure}
\begin{center} A forma da função de correlação determina o quão suave pode ser a variação da informação ao se dela afastar. \end{center}
}

\frame{\frametitle{Efeito da diferenciabilidade: Um exemplo}
\begin{figure}[!ht]
\begin{center}
\includegraphics[width=10cm]{Dif_ex.ps}
\end{center}
\end{figure}
\begin{center} Exemplo unidimensional simulado \end{center}
}

\frame{\frametitle{.                             }
\begin{center}
{\Huge {\bf FAMÍLIAS PARAMÉTRICAS DE FUNÇÕES DE CORRELAÇÃO}}
\end{center}
}

\frame{\frametitle{Família Matérn}
$$
\rho(u, \phi, \kappa) = \dfrac{1}{2^{\kappa -1}\Gamma(\kappa)} \left( \dfrac{u}{\phi}\right)^{\kappa} K_{\kappa} \left( \dfrac{u}{\phi}\right)
$$
onde $K_{\kappa}$ é a função modificada de Bessel (ver \textcolor{red}{Abramowitz, 1965})
\begin{figure}[!ht]
\begin{center}
\includegraphics[width=6cm]{matern.ps}
\end{center}
\end{figure}
\begin{itemize}
\item $\kappa$ é um parâmetro de diferenciabilidade da função;
\item $\phi$ é um parâmetro de alcance prático para a função.
\end{itemize}
}


\frame{\frametitle{Métodos de Estimação dos Parâmetros do Modelo}
\begin{itemize}
\item \textcolor{red}{\bf EXPLORATÓRIO}: \\ 

\vspace{-0.2cm}
{\tiny Feito sobre os pontos de um semivariograma experimental;}
\item \textcolor{red}{\bf MÍNIMOS QUADRADOS}: \\ 

\vspace{-0.2cm}
{\tiny Feito sobre os pontos de um semivariograma experimental;}
\item \textcolor{red}{\bf MÁXIMA VEROSSIMILHANÇA}: \\ 

\vspace{-0.2cm}
{\tiny Feito sobre o conjunto de observações;}
\item \textcolor{red}{\bf BAYESIANO}: \\ 

\vspace{-0.2cm}
{\tiny Método computacionalmente intensivo;}
\end{itemize}
}

\frame{\frametitle{Método da Máxima Verossimilhança}
O método consiste em maximizar a função de log-verossimilhança para a função distribuição conjunta $f_Y(y_1,y_2, \ldots ,\; y_n)$

$$
\begin{array}{rcl}
l(\beta, \tau^2, \sigma^2, \phi) & \propto & - \frac{n}{2}\log(\sigma^2{\bf R}(\phi) + \tau^2{\bf I}) - \\
& & \\
                                          &   & - \frac{1}{2}({\bf y} - {\bf D}\mbox{\boldmath $\beta$})^T
                                                  (\sigma^2{\bf R}(\phi) + \tau^2{\bf I})^{-1}
                                                  ({\bf y} - {\bf D}\mbox{\boldmath $\beta$})
\end{array}
$$
\begin{itemize}
\item ${\bf Y} \sim MVN({\bf D} \mbox{\boldmath $\beta$},\sigma^2 {\bf R}(\phi) + \tau^2{\bf I})$ \\
\vspace{-0.2cm}
{\tiny Processo gaussiano multivariado.}
\end{itemize}
}

\frame{\frametitle{Predição Linear Espacial (Krigagem)}
\begin{itemize}
\item Suposição ou conjectura sobre um resultado geo-localizado \textcolor{blue}{Y}, desconhecido, que poderá ou não ocorrer conforme o valor predito;
\item Prever um resultado em uma localização, com base em um número discreto (normalmente pequeno) de observações obtidas dispersamente na área (\textcolor{red}{Krige, 1951});
\item Estimar, por regressão linear, baseado naquele modelo proposto inicialmente (\textcolor{red}{Goovaerts, 1997}).
\end{itemize}
}

\frame{\frametitle{Preditores por Mínimos Quadrados}
$$
\hat{Y}(x_0) = \sum_{i=1}^n \omega_i Y(x_i) \text{\hspace{1cm} onde } 
\omega_{n\text{{\sf x}}1} = 
C_{n\;x\;n}^{-1} D_{n\;x\;1}
$$
\begin{itemize}
\item $C$: matriz de autocorrelação baseada nos pontos conhecidos do processo \textcolor{blue}{Y};
\item $D$: vetor de correlações entre os pontos conhecidos e um ponto $x_0$ onde se deseja ser estimado $\hat{Y}(x_0)$;
\item $\omega$: peso aplicado a cada ponto $Y(x_0)$ tal que $\sum_{i=1}^n \omega_i =1$.
\end{itemize}
\flushright
\textcolor{red}{\small Journel \& Huijbregts (1978) e Isaaks \& Srivastava (1989)}
}

\frame{\frametitle{Preditores Baseados em Modelos}
$$
E(\hat{Y}(x_0) \vert Y) = \mu + {\bf r}'(\tau^2 {\bf I} + \sigma^2 {\bf R}(\phi))^{-1}({\bf y}-\mu {\bf 1})
$$
\begin{itemize}
\item $\mu$: média dos valores observados;
\item {\bf r}: vetor de correlações entre os pontos conhecidos e um ponto $x_0$ onde se deseja que seja estimado $\hat{y}(x_0)$;
\item {\bf y}: valores observados do processo \textcolor{red}{\bf Y}
\end{itemize}

\vspace{.5cm}
\textcolor{red}{\footnotesize Stein (1999); Schabenberger \& Gotway (2005) e Diggle \& Ribeiro Jr. (2006)}
}

\frame{\frametitle{Mapa de Predição (MOBASA)}
\begin{figure}[!ht]
\begin{center}
\includegraphics[width=4cm]{IMA.ps}
\end{center}
\end{figure}

\vspace{-0.5cm}
\textcolor{red}{\footnotesize Mapa de predição por krigagem ordinária em 7176 coordenadas a partir de 18 locais observados.}
}

\frame{\frametitle{Geoestatística Multivariada}
\textcolor{blue}{\huge{Principais aplicações ...}}
\begin{itemize}
\item Associar a variação espacial de uma variável primária com um conjunto de variáveis secundárias, não necessariamente posicionadas nas mesmas coordenadas;
\item Útil para ampliar a quantidade de informações de uma variável primária de difícil medição com informações de variáveis "baratas" que sejam correlacionadas com ela.
\end{itemize}
}

\frame{\frametitle{Premissa}
Dados geoestatísticos multivariados não precisam estar localizados nas mesmas coordenadas para todas as variáveis.
\begin{figure}[!ht]
\begin{center}
\includegraphics[width=6cm]{bivar.ps}
\end{center}
\end{figure}
{\tiny Pontos azuis representam locais onde foi medida a variável $Y_1$;} \\
{\tiny Pontos vermelhos representam locais onde foi medida a variável $Y_2$;} \\
{\tiny Pontos pretos representam locais onde foram medidas as variáveis $Y_1$ e $Y_2$;} \\
}

\frame{\frametitle{Modelo de Corregionalização}
Para \textcolor{red}{Journel e Huijbregts (1978)} um fenômeno regionalizado por ser representado através de algumas variáveis intercorrelacionadas, estudando-as simultaneamente. \\

Sob a hipótese de estacionariedade, define a covariância cruzada e o variograma cruzado como:
\begin{itemize}
\item $C_{kk'}(h)=E\left\{Z_{k'}(x+h)\; Z_{k}(x)\right\} - \mu_{k'}\mu_k$
\item $2\gamma_{kk'}= E\left\{ [Z_{k'}(x+h) - Z_{k'}(x)][Z_{k}(x+h) - Z_{k}(x)] \right\}$
\end{itemize}
}

\frame{\frametitle{Estimadores da Corregionalização}
Para \textcolor{red}{Isaaks e Srivastava (1989)} e \textcolor{red}{Goovaerts (1997)} a covariância cruzada e a função de correlação cruzada descrevem a relação espacial entre duas variáveis. Seus estimadores são:
\begin{itemize}
\item $C_{uv}(h) = \frac{1}{N(h)}\displaystyle\sum_{(ij)\vert h_{ij}=h} u_i v_j - m_{u_{(-h)}} m_{v_{(+h)}}$ \\

$m_{u_{(-h)}} = \frac{1}{N(h)}\displaystyle\sum_{i\vert h_{ij}=h} u_i$ e 
$m_{v_{(+h)}} = \frac{1}{N(h)}\displaystyle\sum_{j\vert h_{ij}=h} v_j$
\item $\gamma_{uv}(h) = \frac{1}{2N(h)} \displaystyle\sum_{(ij)\vert h_{ij}=h} (u_i-u_j)(v_i-v_j)$
\end{itemize}
}

\frame{\frametitle{Corregionalização (Induzida por um modelo)}
Para \textcolor{red}{Diggle e Ribeiro Jr (2007)}
\begin{description}
\item \textcolor{red}{Y}$_1$: Processo gaussiano estacionário primário.
\item \textcolor{red}{Y}$_2$: Processo gaussiano estacionário secundário.
\end{description}

\vspace{.5cm}
\text{Modelo Bivariado plausível}
$$
\left\{
     \begin{array}{l}
        Y_{1i}= \mu_1 + \sigma_{01}R_0(\phi_a) + \sigma_1R_1(\phi_b) + \tau_1 \;\;\;\; i=1,2,\ldots, m \\
        Y_{2i}= \mu_2 + \sigma_{02}R_0(\phi_a) + \sigma_2R_2(\phi_c) + \tau_2 \;\;\;\; j=1,2,\ldots, n \\   
     \end{array}
\right.
$$
}

\frame{\frametitle{Matriz de Covariância}
$$
{\mbox{\boldmath $\Sigma $}} =
\left(
\begin{array}{c|c}
Cov(Y_1;Y_1) & Cov(Y_1;Y_2) \\
\hline
Cov(Y_2;Y_1) & Cov(Y_2;Y_2)
\end{array}
\right)
$$
}

\frame{\frametitle{Predição Espacial Bivariada}
\begin{itemize}
\item Predição de uma variável $Y_1$ com o ``apoio'' de uma segunda variável $Y_2$ (co-variável) tomada nas mesmas coordenadas na primeira (Krigagem com co-variável);
\item Predição de uma variável de interesse primário $Y_1$ em coordenadas de uma segunda variável $Y_2$, sabidamente correlacionada com a primeira (Co-Krigagem).
\end{itemize}
}

\frame{\frametitle{Co-Kigagem}
\begin{itemize}
\item Estimar a função de correlação e os parâmetros de um modelo bivariado (likBGCC) -- {\rm {\it Bivariate Gaussian Common Componente Model}} (no geoR);
\item Predizer valores da variável primária nas coordenadas da variável secundária (ampliação);
\item Predizer valores da variável primária em coordenadas compatíveis com a produção de um mapa.
\end{itemize}
}

\frame{\frametitle{Mapa de Predição (MOBASA)}
\begin{figure}[!ht]
\begin{center}
\includegraphics[width=4cm]{IMA.ps}
\includegraphics[width=4cm]{IMA_Arg.ps}
\end{center}
\end{figure}

\vspace{-0.5cm}
\textcolor{red}{\footnotesize Mapa de predição por krigagem ordinária em 7176 coordenadas a partir de 18 locais observados (esquerda) e por co-krigagem, a partir de 555 locais da segunda variável.}
}


\frame{\frametitle{Objetivos}
\begin{itemize}
\item Ampliar a revisão bibliográfica;
\item Focar propostas que adotem um conjunto de processos estocásticos gaussianos multivariados $\left\{S_1(x_i), S_2(x_j), \ldots S_p(x_k): i \neq j \neq \ldots \neq k; p \in \mathbb{Z}^+ \right\}$ nem todos independentes;
\item Avaliar métodos multivariados (análise de componentes principais e análise fatorial) para a redução no número de processos.
\item Implementar computacionalmente a função MGCCM - {\it Multivariate Gaussian Common Component Model};
\end{itemize}
}

\frame{\frametitle{Objetivos}
\begin{itemize}
\item Aplicar e comparar o método multivariado em estudo de caso;
\item Avaliar criticamente as estratégias de aplicação de modelos multivariados tomando como base dados simulados.
\end{itemize}
}

\frame{\frametitle{Estudo de Caso \#2}
\textcolor{red}{COODETEC}: Dados de pesquisa da Unioeste financiada pelo CNPq em área de agricultura de precisão com 1,33 ha, localizada no Centro de Pesquisa Eloy Gomes da Cooperativa Central Agropecuária de Desenvolvimento Tecnológico e Econômico Ltda, no município de Cascavel-PR, cultivada com soja na safra 1998, onde foram coletadas 256 amostras de solo em grid semi-regular, para análise de atributos químicos e dados de produtividade.
}

\frame{\frametitle{Fazenda COODETEC}
\begin{figure}[!ht]
\begin{center}
\includegraphics[width=6cm]{Wollenhaupt.eps} \;\;
\includegraphics[width=4cm]{panoramica.ps}
\end{center}
\end{figure}
}

\frame{\frametitle{Toolbox}
\vspace{2cm}
\begin{itemize}
\item Linguagem e ambiente operacional {\bf R};
\item Pacote geoestatístico {\bf geoR};
\item Sistema operacional GNU/Linux.
\end{itemize}
%      \centering
      \begin{figure}[!ht]
      \includegraphics[scale=2]{Rlogo.ps}
      \hspace{1.5cm}
      \includegraphics[scale=0.5]{FFS.ps}
      \hspace{1.5cm}
      \includegraphics[scale=.5]{gnu-head-sm.ps}
      \end{figure}
% \vspace{1cm}
Recursos computacionais sob licença GPL ({\it General Public Licence})
}

\frame{\frametitle{Referências}
\begin{thebibliography}{x}
\bibitem{abramowitz+stegun:1965} ABRAMOWITZ, M.  \& STEGUN I., {\em Handbook of Mathematical Functions}. 9.ed., New York: Dover, 1965.
\bibitem{diggle+ribeiroJr:2006} DIGGLE, P. J. \& RIBEIRO Jr P. J., {\em Model-based Geostatistics}. USA: Springer Series in Statistics, 2006.
\bibitem{goovaerts:1997} GOOVAERTS, P., {\em Geostatistics for Natural Resources Evaluation}. Oxford:, Oxford University Press, 1997.
\bibitem{isaaks+srivastava:1989} ISAAKS, E. H. \& R. SRIVASTAVE, M., {\em Applied GEostatistics}. New York: Oxford University, 1989.
\bibitem{journel+huijbregts:1978} JOURNEL A. G. \& HUIJBREGTS Ch. J., {\em Mining Geostatistics}. London: Academic Press, 1978.
\bibitem{krige:1951} KRIGE D. G., {\em A Statistical Approach to Some Mine Valuations and Allied Problems at Witwatersrand}. University of Witwatersrand, 1951. Master's thesis.
\end{thebibliography}
}

\frame{\frametitle{Referências}
\begin{thebibliography}{x}
\bibitem{R:2006} {\em R: A Language and Environment for Statistical Computing}, R Foundation for Statistical Computing, Vienna:, 2006, http://www.R-project.org.
\bibitem{ribeiro+diggle:2001} RIBEIRO Jr, P. J. \& DIGGLE P. J., geoR: A package for geostatistical analysis, {\em R-NEWS}, v01, n2, 2001, http://cran.r-project.org/doc/Rnews.
\bibitem{schabenberger:2005} SCHABENBERGER O. \& GOTWAY, A., {\em Statistical Methods for Spatial Data Analysis}, New York: Chapman-Hall, 2005.
\bibitem{stein:1999} STEIN, M. L. {\em Interpolation of Spatial Data: Some Theory for Kriging}. New York: Springer series in statistics. 1999.
\bibitem{wakernagel:2003} WAKERNAGEL, H., {\em Multivariate geostatistics: an introduction with applications}, 3.ed., Germany: Springer series in statistics, 2003.
\end{thebibliography}
}

\end{document}